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Algebraic Geometry

By J. Sander et al.

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Flips for 3-folds and 4-folds

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D die Einbettungen von F in C, so heißt discr (B) := det(Θj (αi ))21≤i≤d 1≤j≤d ur eine spezielle Basis B der Form Diskriminante der Basis B. F¨ B = {1, α, α2 , . . , αd−1 } heißt det(Θj (αj−1 )) 1≤i≤d Vandermonde-Determinante. 34 Die Vandermondsche-Determinante hat den Wert det(Θj (αj−1 )) 1≤i≤d = 1≤j≤d (αi − αj ) , 1≤i

J=1 Da α irreduzibel ist, folgt aus der eindeutigen Faktorisierung, dass α ∈ {βj : 1 ≤ j ≤ r} ∩ {γj : 1 ≤ j ≤ s}. h. α ist prim. ⇐=“ ” Sei jedes irreduzible Element von OF prim. Sei f¨ ur irreduzible αj , βj und u, v ∈ UF mit 1 ≤ s ≤ r (∗) uα1 · . . · αr = vβ1 · . . · βs . 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 45 Zu zeigen: r = s und jedes αj ist assoziiert zu einem βk . Wir machen Induktion u ur r = 1 ist s = 1, und alles ist klar. Wir nehmen nun eindeutige ¨ber r. F¨ Faktorisierung bis zur L¨ange r − 1 ≥ 1 an.

D } ⊆ OF . 39 besitzt F eine Ganzheitsbasis B1 = {α1 , α2 , . . , αd }. 35 gilt discr (B) = D2 · discr (B1 ) , wobei D = det(qi,k ) mit qi,k ∈ Z definiert durch d (∗) βk = qi,k αi i=1 (k = 1, . . , d) . 37 sind discr (B) ∈ Z und discr (B1 ) ∈ Z. Da discr (B) quadratfrei nach Voraussetzung ist, folgt mit D ∈ Z, dass D = ±1. Matrizen (qi,k ) mit Determinante ±1 heißen unimodular und besitzen bekanntlich eine Inverse u ¨ber Z ((qi,k ) ∈ GLn (Z)). Also folgt aus (∗) f¨ ur geeignete qi,k ∈ Z d qi,k βi αk = (k = 1, .

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